pLease help me with 14th sum
correct options are A,C

Dear student,

Please find below the solution to the asked query:

$$\begin{gathered} \left(\mathbf{A}\right) \mathrm{P}\left(\mathrm{A}/\mathrm{B}\right)\ge \frac{\mathrm{P}\left(\mathrm{A}\right)+\mathrm{P}\left(\mathrm{B}\right)-1}{\mathrm{P}\left(\mathrm{B}\right)}, \mathrm{P}\left(\mathrm{B}\right)\ne 0 \mathrm{is} \mathrm{always} \mathrm{true}. \\ \mathrm{Note} \mathrm{that} \mathrm{this} \mathrm{statement} \mathrm{is} \mathrm{always} \mathrm{true}. \\ \mathrm{By} \mathrm{definition} \mathrm{of} \mathrm{conditional} \mathrm{probability}, \mathrm{we} \mathrm{get}, \\ \mathrm{P}\left(\mathrm{A}/\mathrm{B}\right)=\frac{\mathrm{P}\left(\mathrm{A}\cap \mathrm{B}\right)}{\mathrm{P}\left(\mathrm{B}\right)} ,\mathrm{P}\left(\mathrm{B}\right)\ne 0 ....\left(1\right) \\ \mathrm{Also} \mathrm{we} \mathrm{have}, \\ \mathrm{P}\left(\mathrm{A}\cup \mathrm{B}\right)=\mathrm{P}\left(\mathrm{A}\right)+\mathrm{P}\left(\mathrm{B}\right)-\mathrm{P}\left(\mathrm{A}\cap \mathrm{B}\right) \\ \Rightarrow \mathrm{P}\left(\mathrm{A}\cap \mathrm{B}\right)=\mathrm{P}\left(\mathrm{A}\right)+\mathrm{P}\left(\mathrm{B}\right)-\mathrm{P}\left(\mathrm{A}\cup \mathrm{B}\right) .....\left(2\right) \\ \mathrm{Note} \mathrm{that}, \\ \mathrm{P}\left(\mathrm{A}\cup \mathrm{B}\right)\le \mathrm{P}\left(\mathrm{U}\right)=1 \\ \Rightarrow \mathrm{P}\left(\mathrm{A}\cup \mathrm{B}\right)\le 1 \\ \Rightarrow -\mathrm{P}\left(\mathrm{A}\cup \mathrm{B}\right)\ge -1 ....\left(3\right) \\ \mathrm{From} \left(2\right) \mathrm{and} \left(3\right), \mathrm{we} \mathrm{get} \\ \mathrm{P}\left(\mathrm{A}\cap \mathrm{B}\right)\ge \mathrm{P}\left(\mathrm{A}\right)+\mathrm{P}\left(\mathrm{B}\right)-1 \\ \mathrm{Use} \mathrm{this} \mathrm{in} \left(1\right) \mathrm{to} \mathrm{get}, \\ \mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{P}\left(\mathbf{A}\mathbf{/}\mathbf{B}\right)\mathbf{\ge }\frac{\mathbf{P}\left(\mathbf{A}\right)\mathbf{+}\mathbf{P}\left(\mathbf{B}\right)\mathbf{-}\mathbf{1}}{\mathbf{P}\left(\mathbf{B}\right)}\mathbf{ }\mathbf{,}\mathbf{P}\left(\mathbf{B}\right)\mathbf{\ne }\mathbf{0} \\ \left(\mathbf{B}\right)\mathbf{ }\mathbf{ }\mathrm{P}\left(\mathrm{A}\cup \overline{\mathrm{B}}\right)=\mathrm{P}\left(\mathrm{A}\right)-\mathrm{P}\left(\mathrm{A}\cap \mathrm{B}\right) \\ \mathrm{This} \mathrm{statement} \mathrm{is} \mathrm{false}. \\ \left(\mathbf{C}\right) \mathrm{P}\left(\mathrm{A}\cup \mathrm{B}\right)=1-\mathrm{P}\left({\mathrm{A}}^{\mathrm{c}}\right) \mathrm{P}\left({\mathrm{B}}^{\mathrm{c}}\right), \mathrm{if} \mathrm{A} \mathrm{and} \mathrm{B} \mathrm{are} \mathrm{independent} \\ \mathrm{This} \mathrm{statement} \mathrm{is} \mathrm{always} \mathrm{true}. \\ \mathrm{Note} \mathrm{that}, \\ \mathrm{P}\left(\mathrm{A}\cup \mathrm{B}\right)=\mathrm{P}\left(\mathrm{A}\right)+\mathrm{P}\left(\mathrm{B}\right)-\mathrm{P}\left(\mathrm{A}\cap \mathrm{B}\right) \\ \mathrm{Since} \mathrm{A} \mathrm{and} \mathrm{B} \mathrm{are} \mathrm{independent}, \mathrm{we} \mathrm{get} \\ \mathrm{P}\left(\mathrm{A}\cap \mathrm{B}\right)=\mathrm{P}\left(\mathrm{A}\right) \mathrm{P}\left(\mathrm{B}\right) \\ \mathrm{This} \mathrm{gives}, \\ \mathrm{P}\left(\mathrm{A}\cup \mathrm{B}\right)=\mathrm{P}\left(\mathrm{A}\right)+\mathrm{P}\left(\mathrm{B}\right)-\mathrm{P}\left(\mathrm{A}\right) \mathrm{P}\left(\mathrm{B}\right) \\ =\mathrm{P}\left(\mathrm{A}\right)+\mathrm{P}\left(\mathrm{B}\right)\left(1-\mathrm{P}\left(\mathrm{A}\right)\right) \\ =1-\mathrm{P}\left({\mathrm{A}}^{\mathrm{c}}\right)+\mathrm{P}\left(\mathrm{B}\right) \mathrm{P}\left({\mathrm{A}}^{\mathrm{c}}\right) \\ =1-\mathrm{P}\left({\mathrm{A}}^{\mathrm{c}}\right)\left(1-\mathrm{P}\left(\mathrm{B}\right)\right) \\ =1-\mathrm{P}\left({\mathrm{A}}^{\mathrm{c}}\right) \mathrm{P}\left({\mathrm{B}}^{\mathrm{c}}\right) \\ \mathrm{Thus} \mathrm{it} \mathrm{is} \mathrm{proved} \mathrm{that}, \\ \mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{P}\left(\mathbf{A}\mathbf{\cup }\mathbf{B}\right)\mathbf{=}\mathbf{1}\mathbf{-}\mathbf{P}\left({\mathbf{A}}^{\mathbf{c}}\right)\mathbf{ }\mathbf{P}\left({\mathbf{B}}^{\mathbf{c}}\right)\mathbf{,}\mathbf{ }\mathbf{if}\mathbf{ }\mathbf{A}\mathbf{ }\mathbf{and}\mathbf{ }\mathbf{B}\mathbf{ }\mathbf{are}\mathbf{ }\mathbf{independent} \\ \left(\mathbf{D}\right) \mathrm{P}\left(\mathrm{A}\cup \mathrm{B}\right)=1-\mathrm{P}\left({\mathrm{A}}^{\mathrm{c}}\right) \mathrm{P}\left({\mathrm{B}}^{\mathrm{c}}\right), \mathrm{if} \mathrm{A} \mathrm{and} \mathrm{B} \mathrm{are} \mathrm{disjoint} \\ \mathrm{This} \mathrm{statement} \mathrm{is} \mathrm{false}. \\ \mathrm{Note} \mathrm{that}, \\ \mathrm{P}\left(\mathrm{A}\cup \mathrm{B}\right)=\mathrm{P}\left(\mathrm{A}\right)+\mathrm{P}\left(\mathrm{B}\right)-\mathrm{P}\left(\mathrm{A}\cap \mathrm{B}\right) \\ \mathrm{Since} \mathrm{A} \mathrm{and} \mathrm{B} \mathrm{are} \mathrm{disjoint}, \mathrm{we} \mathrm{get} \\ \mathrm{P}\left(\mathrm{A}\cap \mathrm{B}\right)=\mathrm{P}\left(\varnothing \right)=0 \\ \mathrm{This} \mathrm{gives}, \\ \mathrm{P}\left(\mathrm{A}\cup \mathrm{B}\right)=\mathrm{P}\left(\mathrm{A}\right)+\mathrm{P}\left(\mathrm{B}\right)-0 \\ =\mathrm{P}\left(\mathrm{A}\right)+\mathrm{P}\left(\mathrm{B}\right) \\ \mathrm{Thus} \mathrm{the} \mathrm{correct} \mathrm{statament} \mathrm{is}, \\ \mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{P}\left(\mathbf{A}\mathbf{\cup }\mathbf{B}\right)\mathbf{=}\mathbf{P}\left(\mathbf{A}\right)\mathbf{+}\mathbf{P}\left(\mathbf{B}\right)\mathbf{,}\mathbf{ }\mathbf{if}\mathbf{ }\mathbf{A}\mathbf{ }\mathbf{and}\mathbf{ }\mathbf{B}\mathbf{ }\mathbf{are}\mathbf{ }\mathbf{disjoint} \end{gathered}$$

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