Show that one root of the equation
| x+a b c|
| b. x+c. a|. =. 0 is -(a+b+c).
| c. a x+b|

Dear student,

Kindly find the answer to your query:
$$\begin{gathered} \left[\begin{array}{ccc}\mathrm{x}+\mathrm{a}& \mathrm{b}& \mathrm{c}\\ \mathrm{b}& \mathrm{x}+\mathrm{c}& \mathrm{a}\\ \mathrm{c}& \mathrm{a}& \mathrm{x}+\mathrm{b}\end{array}\right]=0 \\ \mathrm{Applying}, {\mathrm{C}}_1\to {\mathrm{C}}_1+{\mathrm{C}}_2+{\mathrm{C}}_3 \\ \left[\begin{array}{ccc}\mathrm{x}+\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}& \mathrm{b}& \mathrm{c}\\ \mathrm{x}+\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}& \mathrm{x}+\mathrm{c}& \mathrm{a}\\ \mathrm{x}+\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}& \mathrm{a}& \mathrm{x}+\mathrm{b}\end{array}\right]=0 \\ \mathrm{Taking} \mathrm{common} \mathrm{from} {\mathrm{C}}_1, \\ \left(\mathrm{x}+\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}\right)\left[\begin{array}{ccc}1& \mathrm{b}& \mathrm{c}\\ 1& \mathrm{x}+\mathrm{c}& \mathrm{a}\\ 1& \mathrm{a}& \mathrm{x}+\mathrm{b}\end{array}\right]=0 \\ \mathrm{So} \mathrm{either} \left(\mathrm{x}+\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}\right)=0 \mathrm{or} \left[\begin{array}{ccc}1& \mathrm{b}& \mathrm{c}\\ 1& \mathrm{x}+\mathrm{c}& \mathrm{a}\\ 1& \mathrm{a}& \mathrm{x}+\mathrm{b}\end{array}\right]=0 \\ \mathrm{hence} \mathrm{x} = -\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}\right) \mathrm{is} \mathrm{one} \mathrm{of} \mathrm{the} \mathrm{root} \\ \mathrm{Applying}, {\mathrm{C}}_1\to {\mathrm{C}}_1+{\mathrm{C}}_2+{\mathrm{C}}_3 \end{gathered}$$

Hope these points will clear your doubt about the topic and if you have more doubts please get back to us on our forum.

Regards