In a triangle ABC, (cosAcosB)/ab +(cosBcosC)/bc +(cosCcosA)/ac is equal to - Maths - Trigonometric Functions

Question

In a triangle ABC, (cosAcosB)/ab +(cosBcosC)/bc +(cosCcosA)/ac is
equal to

Varun.Rawat · Accepted Answer

We know that in a ∆ABC, we haveasin A = bsin B = csin C = 2R, where R is the radius of circumcircle of ∆ABC
Now, a= 2 R sin A; b = 2 R sin B; c = 2 R sin CNow, cos A 
 cos Bab + cos B 
 cos Cbc + cos C 
 cos Aca=cos A 
 cos B2R sin A 
 2Rsin B + cos B 
 cos C2R sin B 
 2R sin C + cos C 
 cos A2 R sin C 
 2R sin A=14R2cot A 
 cot B + cot B 
 cot C + cot C 
 cot A   
1Now, A + B + C = π⇒A + B = π - C⇒tanA+B = tanπ-C⇒tan A + tan B1 - tan A 
 tan B = - tan C⇒tan A + tan B = - tan C + tan A 
 tan B 
 tan C⇒tan A + tan B +  tan C = tan A 
 tan B 
 tan C⇒tan A + tan B +  tan Ctan A 
 tan B 
 tan C = tan A 
 tan B   tan Ctan A 
 tan B   tan C⇒cot B 
 cot C + cot A 
 cot C + cot A 
 cot B = 1Now, from 1, we getcos A 
 cos Bab + cos B 
 cos Cbc + cos C 
 cos Aca = 14R2cot A 
 cot B + cot B 
 cot C + cot C 
 cot A = 14R2