If the p^th,q^th terms of a G.P. are q,p respectively ,show that (p+q)^th term is (q^p/p^q)^1/p-q

 A_p = ar^p-1  = q  ---->(1)

 A_q = ar ^q-1 =p   ----->(2)

 dividing (1) & (2)

  r ^p-1 / r^q-1  =  q/p

  r^{p- q} =  q/p  --->  r  =  (q/p)^{1/ p-q}

then   ar^p-1   = q 

        a ((q/p)^{1/ p-q})^p-1 = q

      a((q/p)^{p-1/ p-q}) = q 

        a = q /  (q/p)^{p-1/ p-q})

            now      A_p+q =  ar^{p+q -1}

  ⁼  (q /  (q/p)^{p-1/ p-q})  .((q/p)^{1/ p-q})^{p+q -1}

  =  (q ^{1 - (p-1)/ p-q}  . p ^{p-1 / p-q} )  ( q ^{p+q-1 /  p-q} /  p ^{p+q-1 / p-q}   )

  = ( q ^{p-q - p +1 /p-q}   p^{p-1/ p-q} )  ( q ^{p+q-1 /  p-q} /  p ^{p+q-1 / p-q}   )

  =  q^{1-q / p-q + (p+q-1)/p-q}  . p ^{p-1 / p-q -  (p+q-1/ p-q)}

  =  q^{p/ p-q}   p ^{q/ p-q}

  = (q^p / p^q)  ^{1/ p-q}