- Find the values of 'm' for which x2 + 3xy + x + my - m has two linear factors in x and y, with integer coefficients.

Given expression is  x2+3xy+x+my-mLet the two linear factors in xand y are (ax+by+c) and (dx+ey+f) where a,b,c,d,e,f are integersNow since the given expression has no y2 term hence one of the factors must not contain yHence factors are (ax+by+c) and (dx+f) So (ax+by+c)(dx+f) =  x2+3xy+x+my-madx2+bdxy+cdx+afx+bfy+cf = x2+3xy+x+my-madx2+bdxy+(cd+af)x+bfy+cf = x2+3xy+x+my-mNow on comparing the coefficients we get ad=1.......(1)bd =3.......(2)cd+af =1........(3)bf=m.........(4)cf=-m........(5)From (1) we can say that as a and d are integers so possible values of a and d are a=1 and d=1Hence a=1,d=1Hence from (2) ,b=3Putting the values of a and d in (3) we get c+f =1........(6)On dividing (5) by (4) ,we get cb=-1c=-b c=-3Putting the values of c in (6) we get f =1-(-3) =4Hence from (4) , m = 3×4=12

Hence the value of m=12 and the two linear factors are (x+3y-3) and (x+4)

Note :- One more value of m is possible i.e m =0 .In this case two linear factors are (x) and (x+3y+1)

  • 18
What are you looking for?